一元函数单调性与单调区间求解例题解析D

本文通过导数知识,介绍一元函数单调性与单调区间的计算步骤,通过6种函数进行例题解析。

主要方法步骤

    1

    例题1:讨论y=e^x-2x-1的单调性。

    解:y=e^x-2x-1,则y´=e^x-2.

    一元函数单调性与单调区间求解例题解析D

    2

    例题2:讨论函数f(x)=3x^3-3x^2+1的单调性。

    解:y=3x^3-3x^2+1,

    y´=9x^2-6x=3x(3x-2).

    令y´=0,即x1=0,x2=2/3,则:

    (1)当x∈(-∞,0],[2/3,+∞)时,y´≥0,

    此时函数为增函数,该区间为函数的增区间;

    (2)当x∈(0,2/3)时,y´<0,

    此时函数为减函数,该区间为函数的减区间。

    一元函数单调性与单调区间求解例题解析D

    3

    例题3:判断y=(2/3)x^3+(3/2)x^2的单调性。

    解:y=(2/3)x^3+(3/2)x^2,

    y´=2x^2+3x=x(2x+3).

    令y´=0,即x1=-3/2,x2=0,则:

    (1)当x∈(-∞,-3/2],[0,+∞)时,y´≥0,

    此时函数为增函数,该区间为函数的增区间;

    (2)当x∈(-3/2,0)时,y´<0,

    此时函数为减函数,该区间为函数的减区间。

    一元函数单调性与单调区间求解例题解析D

    4

    例题4:求函数f(x)=(x+1)(x+5)^(2/3)的单调区间。

    解:y=(x+1)(x+5)^(2/3).

    y´=(x+5)^(2/3)+(2/3)(x+1)(x+5)^(-1/3)

    =(1/3)(x+5)^(-1/3)*(5x+17).

    一元函数单调性与单调区间求解例题解析D

    5

    例题5:求f(x)=x^2(x-4)^2的单调区间。

    解:y=x^2(x-4)^2,

    y´=2x(x-4)^2+2x^2(x-4)=2x(x-4)(2x-4).

    令y´=0,即x1=0,x2=2,x3=4则:

    (1)当x∈(0,2],(4,+∞)时,y´>0,

    此时函数为增函数,该区间为函数的增区间;

    (2)当x∈(-∞,0],[2,4]时,y´≤0,

    此时函数为减函数,该区间为函数的减区间。

    一元函数单调性与单调区间求解例题解析D

    6

    例题6:讨论y=(x-1)3√x^2的单调性。

    解:y=(x-1)x^(2/3).

    y´=x^(2/3)+(2/3)(x-1)x^(-1/3)

    =(1/3)x^(-1/3)*(5x-2).

    一元函数单调性与单调区间求解例题解析D

    7

    通过上述例子,可见此类型讨论函数的单调性或求函数的单调区间的主要方法。

    一元函数单调性与单调区间求解例题解析DEND

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