本经验以极限分子分母根据所求极限条件，以及使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e和三角函数公式，介绍7种不同情形下函数极限的计算过程。

主要方法与步骤

1

1.计算lim(n→∞)(20n²-1)/(12n⁴+15n-19)

解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。

本题计算方法为分子分母同时除以n⁴，即：

lim(n→∞)(20n²-1)/(12n⁴+15n-19)

=lim(n→∞)(20/n-1/n⁴)/(12+15/n³-19/n⁴),

=0。



2

2.计算lim(n→∞)(25n-19n-14)/(26+9n-21n²)

解：思路一：观察所求极限特征，可知所求极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以n²，即：

lim(n→∞)(25n²-19n-14)/(26+9n-21n²)

=lim(n→∞)(25-19/n-14/n²)/(26/n+9/n-21),

=(25-0)/(0-21),

=-25/21。

思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：

lim(n→∞)(25n²-19n-14)/(26+9n-21n²)

=lim(n→∞)(50n-19)/(9-42n)，继续使用罗必塔法则，

=lim(n→∞)(50-0)/(0-42)，

=-25/21。



3

3.求极限lim(x→1)(x³-34x+33)/(x⁴-53x+52)

解：观察极限特征，所求极限为定点x趋近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是极限函数的可去间断点，则：

lim(x→1)(x³-34x+33)/(x⁴-53x+52)

=lim(x→1)(x-1)(x²+x-33)/[(x-1)(x³+x²+x-52)],

=lim(x→1)(x²+x-33)/(x³+x²+x-52),

=(1+1-33)/(1+1+1-52),

=31/49。



4

4.求lim(x→0)(12x+13sin5x)/(3x-3sin3x)

解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得，则：

lim(x→0)(12x+13sin5x)/(3x-3sin3x)，

=lim(x→0)(12+13sin5x/x)/(3-3sin3x/x)，

=lim(x→0)(12+65sin5x/5x)/(3-9sin3x/3x)，

=(12+65)/(3-9)，

=-77/6。

思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(12x+13sin5x)/(3x-3sin3x)，

=lim(x→0)(12+13*5cos5x)/(3-3*3cos3x)，

=(12+13*5)/(3-3*3)，

=-77/6。



5

5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(21x+12)。

解：本题思路是分子分母同时除以x，并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，则：

lim(x→∞)(x²sin1/x)/(21x+12)

=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(21x+12)/x],

=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[21+(12/x)],

=1/{lim(x→∞)[21+(12/x)]},

=1/21。



6

6.求lim(x→0)(sinx-sin27x)/sin13x.

解：思路一：对分母进行三角和差化积，再进行极限计算，有：

lim(x→0)(sinx-sin27x)/sin13x

=lim(x→0)2cos14xsin(-13x)/sin13x,

=lim(x→0)-2cos14x,

=-2cos0=-2。

思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(sinx-sin27x)/sin13x,

=lim(x→0)(cosx-sin27cos27x)/(13cos13x)，

=lim(x→0)(1-27)/13，

=-2。



7

7.求lim(x→0)(1+2x)^(12/6x)。

解：本题主要通过使用重要极限公式lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e计算而得，则：

lim(x→0)(1+2x)^(12/6x),

=lim(x→0){[(1+2x)^(1/2x)]}^(12*2/6),

=e^(12*2/6),

=e^4。

END