本经验以极限分子分母根据所求极限条件,以及使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1,lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e和三角函数公式,介绍7种不同情形下函数极限的计算过程。
1.计算lim(n→∞)(16n²-38)/(12n⁴+18n-12)
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解:观察所求极限特征,可知所求极限的分母此时为2,分子的次数为4,且分子分母没有可约的因子,则当n趋近无穷大时,所求极限等于0。
本题计算方法为分子分母同时除以n⁴,即:
lim(n→∞)(16n²-38)/(12n⁴+18n-12)
=lim(n→∞)(16/n-38/n⁴)/(12+18/n³-12/n⁴),
=0。
END2.计算lim(n→∞)(41n-10n-29)/(27+4n-7n²)
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解:思路一:观察所求极限特征,可知所求极限的分子分母的次数相同均为2,且分子分母没有可约的因子,则分子分母同时除以n²,即:
lim(n→∞)(41n²-10n-29)/(27+4n-7n²)
=lim(n→∞)(41-10/n-29/n²)/(27/n+4/n-7),
=(41-0)/(0-7),
=-41/7。
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思路二:本题所求极限符合洛必达法则,有:
lim(n→∞)(41n²-10n-29)/(27+4n-7n²)
=lim(n→∞)(82n-10)/(4-14n),继续使用罗必塔法则,
=lim(n→∞)(82-0)/(0-14),
=-41/7。
END3.求极限lim(x→1)(x³-17x+16)/(x⁴-39x+38)
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3.求极限lim(x→1)(x³-17x+16)/(x⁴-39x+38)
解:观察极限特征,所求极限为定点x趋近于1,又分子分母含有公因式x-1,即x=1是极限函数的可去间断点,则:
lim(x→1)(x³-17x+16)/(x⁴-39x+38)
=lim(x→1)(x-1)(x²+x-16)/[(x-1)(x³+x²+x-38)],
=lim(x→1)(x²+x-16)/(x³+x²+x-38),
=(1+1-16)/(1+1+1-38),
=2/5。
END4.求lim(x→0)(6x+28sin3x)/(30x-9sin8x)
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解:思路一:本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得,则:
lim(x→0)(6x+28sin3x)/(30x-9sin8x),
=lim(x→0)(6+28sin3x/x)/(30-9sin8x/x),
=lim(x→0)(6+84sin3x/3x)/(30-72sin8x/8x),
=(6+84)/(30-72),
=-15/7。
思路二:使用罗必塔法则计算有:
lim(x→0)(6x+28sin3x)/(30x-9sin8x),
=lim(x→0)(6+28*3cos3x)/(30-9*8cos8x),
=(6+28*3)/(30-9*8),
=-15/7。
END5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(24x+29)。
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5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(24x+29)。
解:本题思路是分子分母同时除以x,并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1,则:
lim(x→∞)(x²sin1/x)/(24x+29)
=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(24x+29)/x],
=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[24+(29/x)],
=1/{lim(x→∞)[24+(29/x)]},
=1/24。
END6.求lim(x→0)(sin3x-sin75x)/sin36x.
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解:思路一:对分母进行三角和差化积,再进行极限计算,有:
lim(x→0)(sin3x-sin75x)/sin36x
=lim(x→0)2cos39xsin(-36x)/sin36x,
=lim(x→0)-2cos39x,
=-2cos0=-2。
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思路二:使用罗必塔法则计算有:
lim(x→0)(sin3x-sin75x)/sin36x,
=lim(x→0)(3cos3x-sin75cos75x)/(36cos36x),
=lim(x→0)(3-75)/36,
=-2。
END7.求lim(x→0)(1+3x)^(2/14x)。
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7.求lim(x→0)(1+3x)^(2/14x)。
解:本题主要通过使用重要极限公式lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e计算而得,则:
lim(x→0)(1+3x)^(2/14x),
=lim(x→0){[(1+3x)^(1/3x)]}^(2*3/14),
=e^(2*3/14),
=e^(3/7)。
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