本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质,介绍函数用导数工具画函数y=(2x³-3)/(x+1)³的图像的主要步骤。
函数的定义域
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根据分数函数的定义要求,必须分母整体不为0,则x+1≠0,即可知函数自变量的取值,进一步可写出函数y=(2x³-3)/(x+1)³的定义域。
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形如y=f(x),则x是自变量,它代表着函数图像上每一点的横坐标,自变量的取值范围就是函数的定义域。f是对应法则的代表,它可以由f(x)的解析式决定。
END函数的单调性
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利用函数的导数知识,计算函数的一阶导数,根据导数的符号,解析函数y=(2x³-3)/(x+1)³的单调性。
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如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微),若x∈D时恒有f'(x)>0,则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之,若x∈D时,f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。
END函数的凸凹性
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计算函数的二阶导数,即可求出函数的拐点,进而解析函数单调性,则可求出函数y=(2x³-3)/(x+1)³的凸凹区间。
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如果函数f(x)在区间I上二阶可导,则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0。
END函数的极值
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计算函数y=(2x³-3)/(x+1)³在无穷远处和函数的点断点处的极限:
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极限指某一个函数中的某一个变量,此变量在变大(或者变小)的永远变化的过程中,逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”,极限是一种“变化状态”的描述。
END函数的部分点图表
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根据函数单调性、凸凹性等性质,列举函数y=(2x³-3)/(x+1)³在定义域区间上部分关键点坐标。
END函数的示意图
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综合以上函数的定义域、单调性、凸凹性、极限性质,并结合函数的定义区间和单调、凸凹区间,即可画出函数y=(2x³-3)/(x+1)³的示意图如下:
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