本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab已知条件下的最大值。

方法/步骤

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思路一：直接代入法

根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

ab

=a(3/10-1/15*a)

=-1/15*a^2+3/10*a

=-1/15(a-9/4)^2+27/80，

则当a=9/4时，ab有最大值为27/80。



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思路二：判别式法

设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。



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思路三：三角换元法

将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。



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思路四：中值代换法

设2a=9/2+t,30b=9/2-t，则：

a=(1/2)(9/2+t),b=(1/30)(9/2-t)



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思路五：不等式法

当a，b均为正数时，则：

∵2a+30b≥2√60*ab,

∴(2a+30b)^2≥240*ab,



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思路六：数形几何法

如图，设直线2a+30b=9上的任意一点P(a0,b0),



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思路七:构造函数法

设函数f(a,b)=ab-λ(2a+30b-9),

则偏导数f'a=b-2λ,f'b=a-30λ,

f'λ=2a+30b-9。

END