本经验主要介绍经过直角坐标系上三点A(2,0),B(0,4),C(0,0)，所构成的三角形的重心、内心、外心和垂心坐标的计算步骤。

主要方法与步骤

1

已知三点A(2,0),B(0,4),C(0,0)，求构成的三角形的重心、内心、外心和垂心坐标的计算步骤。



2

此时直角三角形在直角坐标系上的示意图如下：



3

可根据勾股定理，计算此时三角形的斜边AB长，其它两边,AC,BC的长已知。



4

三角形的重心计算，三角形的重心即三条中线的交点，分别通过三个顶点与对边中点相连，中线的交点即是重心，重心把三条中线分成1:2，即重心与中点的距离与重心与顶点的距离比为1:2。



5

垂心即三条高的交点，分别通过三个顶点作对边作垂线，垂线的交点即是垂心。对于本题，三角形为直角三角形，所以垂心即直角三角形的直角定点，故垂心为：H( 0 , 0 ).



6

该三角形的外心坐标计算，外心即外接圆的圆心，此时三角形三个顶点在圆上，圆心到三个顶点的距离相等，即外心到三角形三个顶点距离相等，因此外心是三角形三条边的中垂线的交点。



7

该直角三角内心坐标的计算：内心即内切圆的圆心，此时三角形三条边都与圆相切，圆心到三条边的距离相等，即内心到三角形三边的距离相等，因此内心是三角形三个角的角平分线交点。



8

设内心N的坐标为(m，n),当三角形三个顶点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),

C(x3,y3)，由向量性质得aNA+bNB+cNC=0：

NA= ( x1-m , y1-n ) ;NB= ( x2-m , y2-n ) ;NC= ( x3-m , y3-n ) ;



9

垂心即三条高的交点，分别通过三个顶点作对边作垂线，垂线的交点即是垂心。对于本题，三角形为直角三角形，所以垂心即直角三角形的直角定点，故垂心为：H( 0 , 0 ).

END