本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab已知条件下的最大值。

方法/步骤

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通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab已知条件下的最大值。



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思路一：直接代入法

根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

ab

=a(9/28-1/14*a)

=-1/14*a^2+9/28*a

=-1/14(a-9/4)^2+81/224，

则当a=9/4时，ab有最大值为81/224。



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思路二：判别式法

设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

2a+28b=9,

2a+28p/a=9,

2a^2-9a+28p=0,对a的二次方程有：

判别式△=81-224p≥0,即：

p≤81/224,

此时得ab=p的最大值=81/224。



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思路三：三角换元法

将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。

由2a+28b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，

设2a=9(cost)^2，28b=9(sint)^2，则：

a=(cost)^2,b=9/28(sint)^2,代入得：

ab=(cost)^2*9/28(sint)^2,

=81/224*(sin2t)^2,

当sin2t=±1时，ab有最大值=81/224。



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思路四：中值代换法

设2a=9/2+t,28b=9/2-t，则：

a=(1/2)(9/2+t),b=(1/28)(9/2-t)

此时有：

ab=1/56*(9/2+t)*(9/2-t)

=1/56*(81/4-t^2)。

当t=0时，即：ab≤81/224,

则ab的最大值为81/224。



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思路五：不等式法

当a，b均为正数时，则：

∵2a+28b≥2√56*ab,

∴(2a+28b)^2≥224*ab,

81≥224*ab,

即：ab≤81/224,

则ab的最大值为81/224。



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思路六：数形几何法

如图，设直线2a+28b=9上的任意一点P(a0,b0),

op与x轴的夹角为θ，则：

2a0+28b0=9,b0=a0tanθ,

2a0+28a0tanθ=9，得

a0=9/(2+28tanθ),

|a0*b0|=81*|tanθ|/(2+28tanθ)^2,

=81/[(4/|tanθ|)+112+784|tanθ|]

≤81/(112+112)=81/224。

则ab的最大值=81/224.



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思路七:构造函数法

设函数f(a,b)=ab-λ(2a+28b-9),

则偏导数f'a=b-2λ,f'b=a-28λ,

f'λ=2a+28b-9。

令f'a=f'b=f'λ=0，则：

b=2λ,a=28λ。进一步代入得：

56λ+56λ=9,即λ=9/112.

则有a=9/4,b=9/56.

ab的最大值=9/4*9/56=81/224。

END