本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab已知条件下的最大值。

方法/步骤

1

通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab已知条件下的最大值。



2

根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

ab

=a(9/34-1/17*a)

=-1/17*a^2+9/34*a

=-1/17(a-9/4)^2+81/272，

则当a=9/4时，ab有最大值为81/272。



3

设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

2a+34b=9,

2a+34p/a=9,

2a^2-9a+34p=0,对a的二次方程有：

判别式△=81-272p≥0,即：

p≤81/272,

此时得ab=p的最大值=81/272。



4

将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。

由2a+34b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，

设2a=9(cost)^2，34b=9(sint)^2，则：

a=(cost)^2,b=9/34(sint)^2,代入得：

ab=(cost)^2*9/34(sint)^2,

=81/272*(sin2t)^2,

当sin2t=±1时，ab有最大值=81/272。



5

设2a=9/2+t,34b=9/2-t，则：

a=(1/2)(9/2+t),b=(1/34)(9/2-t)

此时有：

ab=1/68*(9/2+t)*(9/2-t)

=1/68*(81/4-t^2)。

当t=0时，即：ab≤81/272,

则ab的最大值为81/272。



6

当a，b均为正数时，则：

∵2a+34b≥2√68*ab,

∴(2a+34b)^2≥272*ab,

81≥272*ab,

即：ab≤81/272,

则ab的最大值为81/272。



7

思路六：数形几何法

如图，设直线2a+34b=9上的任意一点P(a0,b0),

op与x轴的夹角为θ，



8

思路七:构造函数法

设函数f(a,b)=ab-λ(2a+34b-9),

则偏导数f'a=b-2λ,f'b=a-34λ,

f'λ=2a+34b-9。

令f'a=f'b=f'λ=0，则：

b=2λ,a=34λ。进一步代入得：

68λ+68λ=9,即λ=9/136.

则有a=9/4,b=9/68.

ab的最大值=9/4*9/68=81/272。

END