本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在已知条件下的最大值。

思路一：直接代入法

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根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

ab

=a(9/38-1/38*a)

=-1/38*a^2+9/38*a

=-1/38(a-9/2)^2+81/152，

则当a=9/2时，ab有最大值为81/152。

END

思路二：判别式法

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设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

a+38b=9,

a+38p/a=9,

a^2-9a+38p=0,对a的二次方程有：

判别式△=81-152p≥0,即：

p≤81/152,

此时得ab=p的最大值=81/152。



2END

思路三：三角换元法

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将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。

由a+38b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，

设a=9(cost)^2，38b=9(sint)^2，则：

a=9(cost)^2,b=9/38(sint)^2,代入得：

ab=9(cost)^2*9/38(sint)^2,

=81/152*(sin2t)^2,

当sin2t=±1时，ab有最大值=81/152。

END

思路四：中值代换法

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设a=9/2+t,38b=9/2-t，则：

a=(9/2+t),b=(1/38)(9/2-t)

此时有：

ab=1/38*(9/2+t)*(9/2-t)

=1/38*(81/4-t^2)。

当t=0时，即：ab≤81/152,

则ab的最大值为81/152。

END

思路五：不等式法

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当a，b均为正数时，则：

∵a+38b≥2√38*ab,

∴(a+38b)^2≥152*ab,

81≥152*ab,

即：ab≤81/152,

则ab的最大值为81/152。

END

思路六：数形几何法

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如图，设直线a+38b=9上的任意一点P(a0,b0),

op与x轴的夹角为θ，则：

a0+38b0=9,b0=a0tanθ,

a0+38a0tanθ=9，得

a0=9/(1+38tanθ),

|a0*b0|=81*|tanθ|/(1+38tanθ)^2,

=81/[(1/|tanθ|)+76+1444|tanθ|]

≤81/(76+76)=81/152。

则ab的最大值=81/152.

END

思路七:构造函数法

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设函数f(a,b)=ab-λ(a+38b-9),

则偏导数f'a=b-λ,f'b=a-38λ,

f'λ=a+38b-9。

令f'a=f'b=f'λ=0，则：

b=λ,a=38λ。进一步代入得：

38λ+38λ=9,即λ=9/76.

则有a=9/2,b=9/76.

ab的最大值=9/2*9/76=81/152。

END