本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在已知条件下的最大值。

方法/步骤

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本题主要内容。



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思路一：直接代入法

根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

ab

=a(3/11-1/33*a)

=-1/33*a^2+3/11*a

=-1/33(a-9/2)^2+27/44，

则当a=9/2时，ab有最大值为27/44。



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思路二：判别式法

设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

a+33b=9,

a+33p/a=9,

a^2-9a+33p=0,对a的二次方程有：

判别式△=81-132p≥0,即：

p≤27/44,

此时得ab=p的最大值=27/44。



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思路三：三角换元法

将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。

由a+33b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，

设a=9(cost)^2，33b=9(sint)^2，则：

a=9(cost)^2,b=3/11(sint)^2,代入得：

ab=9(cost)^2*3/11(sint)^2,

=27/44*(sin2t)^2,

当sin2t=±1时，ab有最大值=27/44。



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思路四：中值代换法

设a=9/2+t,33b=9/2-t，则：

a=(9/2+t),b=(1/33)(9/2-t)

此时有：

ab=1/33*(9/2+t)*(9/2-t)

=1/33*(81/4-t^2)。

当t=0时，即：ab≤27/44,

则ab的最大值为27/44。



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思路五：不等式法

当a，b均为正数时，则：

∵a+33b≥2√33*ab,

∴(a+33b)^2≥132*ab,

81≥132*ab,

即：ab≤27/44,

则ab的最大值为27/44。



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思路六：数形几何法

如图，设直线a+33b=9上的任意一点P(a0,b0),

op与x轴的夹角为θ，则：

a0+33b0=9,b0=a0tanθ,

a0+33a0tanθ=9，得

a0=9/(1+33tanθ),

|a0*b0|=81*|tanθ|/(1+33tanθ)^2,

=81/[(1/|tanθ|)+66+1089|tanθ|]

≤81/(66+66)=27/44。

则ab的最大值=27/44.



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思路七:构造函数法

设函数f(a,b)=ab-λ(a+33b-9),

则偏导数f'a=b-λ,f'b=a-33λ,

f'λ=a+33b-9。

令f'a=f'b=f'λ=0，则：

b=λ,a=33λ。进一步代入得：

33λ+33λ=9,即λ=3/22.

则有a=9/2,b=3/22.

ab的最大值=9/2*3/22=27/44。

END