本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab已知条件下的最大值。
方法/步骤
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思路一:直接代入法
根据已知条件,替换b,得到关于a的函数,并根据二次函数性质得ab的取值范围。
ab
=a(9/40-1/20*a)
=-1/20*a^2+9/40*a
=-1/20(a-9/4)^2+81/320,
则当a=9/4时,ab有最大值为81/320。
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思路二:判别式法
设ab=p,得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数,并根据二次函数性质得ab的取值范围。
2a+40b=9,
2a+40p/a=9,
2a^2-9a+40p=0,对a的二次方程有:
判别式△=81-320p≥0,即:
p≤81/320,
此时得ab=p的最大值=81/320。
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思路三:三角换元法
将ab表示成三角函数,进而得ab的最大值。
由2a+40b=9,要求ab的最大值,不妨设a,b均为正数,
设2a=9(cost)^2,40b=9(sint)^2,则:
a=(cost)^2,b=9/40(sint)^2,代入得:
ab=(cost)^2*9/40(sint)^2,
=81/320*(sin2t)^2,
当sin2t=±1时,ab有最大值=81/320。
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思路四:中值代换法
设2a=9/2+t,40b=9/2-t,则:
a=(1/2)(9/2+t),b=(1/40)(9/2-t)
此时有:
ab=1/80*(9/2+t)*(9/2-t)
=1/80*(81/4-t^2)。
当t=0时,即:ab≤81/320,
则ab的最大值为81/320。
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思路五:不等式法
当a,b均为正数时,则:
∵2a+40b≥2√80*ab,
∴(2a+40b)^2≥320*ab,
81≥320*ab,
即:ab≤81/320,
则ab的最大值为81/320。
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思路六:数形几何法
如图,设直线2a+40b=9上的任意一点P(a0,b0),
op与x轴的夹角为θ,则:
2a0+40b0=9,b0=a0tanθ,
2a0+40a0tanθ=9,得
a0=9/(2+40tanθ),
|a0*b0|=81*|tanθ|/(2+40tanθ)^2,
=81/[(4/|tanθ|)+160+1600|tanθ|]
≤81/(160+160)=81/320。
则ab的最大值=81/320.
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思路七:构造函数法
设函数f(a,b)=ab-λ(2a+40b-9),
则偏导数f'a=b-2λ,f'b=a-40λ,
f'λ=2a+40b-9。
令f'a=f'b=f'λ=0,则:
b=2λ,a=40λ。进一步代入得:
80λ+80λ=9,即λ=9/160.
则有a=9/4,b=9/80.
ab的最大值=9/4*9/80=81/320。
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