本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质,介绍函数用导数工具画函数√x+√y=1的图像的主要步骤。
主要方法与步骤
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※.函数√x+√y=1的定义域
∵√y=1-√x≥0,
∴√x≤1,
即:0≤x≤1.
则函数的定义域为:[0,1].
2
对方程√x+√y=1两边同时对自变量x求导,得:
1/(2√x)+y'/(2√y)=0
y'/√y=-1/√x
y'=-[√y/√x]<0
即函数√x+√y=1在定义域上为单调减函数。
3
二阶导数,是原函数导数的导数,将原函数进行二次求导。一般的,函数y=f(x)的导数y'=f'(x)仍然是x的函数,则y'=f'(x)的导数叫作函数y=f(x)的二阶导数。
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如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微),若x∈D时恒有f'(x)>0,则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之,若x∈D时,f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。
5
※.函数√x+√y=1的凸凹性
∵y'=-[√y/√x].
∴y"=-(√y/√x)'.
=-(1/x)*[y'√x/(2√y)-√y/(2√x)]
=(1/2x)*[1+√y/(√x)]>0,
所以函数y为凹函数。
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函数√x+√y=1上的五点示意图。
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函数√x+√y=1的示意图,综合以上函数的定义域、单调性、凸凹、极限和奇偶等性质,函数√x+√y=1的示意图如下:
8
导数也叫导函数值。又名微商,是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f’(x0)或df(x0)/dx。
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