本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在已知条件下的最大值。

方法/步骤

1

介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在a+37b=9条件下的最大值。



2

根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

ab

=a(9/37-1/37*a)

=-1/37*a^2+9/37*a

=-1/37(a-9/2)^2+81/148，

则当a=9/2时，ab有最大值为81/148。



3

设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

a+37b=9,

a+37p/a=9,

a^2-9a+37p=0,对a的二次方程有：

判别式△=81-148p≥0,即：

p≤81/148,

此时得ab=p的最大值=81/148。



4

将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。

由a+37b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，

设a=9(cost)^2，37b=9(sint)^2，则：

a=9(cost)^2,b=9/37(sint)^2,代入得：

ab=9(cost)^2*9/37(sint)^2,

=81/148*(sin2t)^2,

当sin2t=±1时，ab有最大值=81/148。



5

设a=9/2+t,37b=9/2-t，则：

a=(9/2+t),b=(1/37)(9/2-t)

此时有：薪译

ab=1/37*(9/2+t)*(9/2-t)

=1/37*(81/4-t^2)。

当t=0时，即：ab≤81/148,

则歌祝彩ab的最大值为81/148。



6

当a，b均为正数时，则：

∵a+37b≥2√37*ab,

∴(a+37b)^2≥148*ab,

81≥148*ab,

即：爷爬ab≤81/148,

则ab的最大值为81/148。



7

如图，设直线a+37b=9上的任意一点P(a0,b0),

op与x轴的夹角为θ，则：

a0+37b0=9,b0=a0tanθ,

a0+37a0tanθ=9，得

a0=9/(1+37tanθ),

|a0*b0|=81*|tanθ|/(1+37tanθ)^2,

=81/[(1/|tanθ|)+74+1369|tanθ|]

≤81/(74+74)=81/148。

则ab的最大值=81/148.



8

设函数f(a,b)=ab-λ(a+37b-9),

则偏导数f'a=b-λ,f'b=a-37λ,

f'λ=a+37b-9。

令f'a=f'b=f'λ=0，则：

b=λ,a=37λ。进一步代入得：

37λ+37λ=9,即λ=9/74.

则有a=9/2,b=9/74.

ab的最大值=9/2*9/74=81/148。

END