本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，介绍函数用导数工具画函数y=3x^3+6x^2+x的图像的主要步骤。

主要方法与步骤

1

函数y为幂函数的四则运算，自变量x可以取全体实数，故函数y=3x^3+6x^2+x的定义域为全体实数，即为（-∞，+∞）。



2

函数的单调性解析和单调区间计算，首先计算函数的一阶导数，算出函数的驻点，根据驻点符号，解析函数y=3x^3+6x^2+x的单调性。



3

如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

4

通过函数y=3x^3+6x^2+x的二阶导数，得函数的拐点，解析函数y=3x^3+6x^2+x的凸凹区间。



5

函数y=3x^3+6x^2+x的极限计算，具体过程如下：



6

函数五点图，根据函数y=3x^3+6x^2+x的单调和凸凹性质，函数y=3x^3+6x^2+x部分点解析表如下：



7

综合以上函数的定义域、值域、单调性、凸凹性和极限等性质，根据函数的单调和凸凹区间，简要画出函数y=3x^3+6x^2+x的示意图如下：

END