本经验以极限分子分母根据所求极限条件,以及使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1,lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e和三角函数公式,介绍7种不同情形下函数极限的计算过程。
1.(28n²-3)/(30n⁴+11n-2)
1
解:观察所求极限特征,可知所求极限的分母此时为2,分子的次数为4,且分子分母没有可约的因子,则当n趋近无穷大时,所求极限等于0。
本题计算方法为分子分母同时除以n⁴,即:
lim(n→∞)(28n²-3)/(30n⁴+11n-2)
=lim(n→∞)(28/n-3/n⁴)/(30+11/n³-2/n⁴),
=0。
END2.计算(20n-32n-21)/(34+18n-27n²)
1
解:思路一:观察所求极限特征,可知所求极限的分子分母的次数相同均为2,且分子分母没有可约的因子,则分子分母同时除以n²,即:
lim(n→∞)(20n²-32n-21)/(34+18n-27n²)
=lim(n→∞)(20-32/n-21/n²)/(34/n+18/n-27),
=(20-0)/(0-27),
=-20/27。
2
思路二:本题所求极限符合洛必达法则,有:
lim(n→∞)(20n²-32n-21)/(34+18n-27n²)
=lim(n→∞)(40n-32)/(18-54n),继续使用罗必塔法则,
=lim(n→∞)(40-0)/(0-54),
=-20/27。
END3.求极限(x³-41x+40)/(x⁴-29x+28)
1
解:观察极限特征,所求极限为定点x趋近于1,又分子分母含有公因式x-1,即x=1是极限函数的可去间断点,则:
lim(x→1)(x³-41x+40)/(x⁴-29x+28)
=lim(x→1)(x-1)(x²+x-40)/[(x-1)(x³+x²+x-28)],
=lim(x→1)(x²+x-40)/(x³+x²+x-28),
=(1+1-40)/(1+1+1-28),
=38/25。
END4.求(7x+15sin10x)/(29x-36sin11x)
1
解:思路一:本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得,则:
lim(x→0)(7x+15sin10x)/(29x-36sin11x),
=lim(x→0)(7+15sin10x/x)/(29-36sin11x/x),
=lim(x→0)(7+150sin10x/10x)/(29-396sin11x/11x),
=(7+150)/(29-396),
=-157/367。
2
思路二:使用罗必塔法则计算有:
lim(x→0)(7x+15sin10x)/(29x-36sin11x),
=lim(x→0)(7+15*10cos10x)/(29-36*11cos11x),
=(7+15*10)/(29-36*11),
=-157/367。
END5.求(x²sin1/x)/(16x+56)。
1
解:本题思路是分子分母同时除以x,并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1,则:
lim(x→∞)(x²sin1/x)/(16x+56)
=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(16x+56)/x],
=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[16+(56/x)],
=1/{lim(x→∞)[16+(56/x)]},
=1/16。
END6.求lim(sin35x-sin41x)/sin3x.
1
解:思路一:对分母进行三角和差化积,再进行极限计算,有:
lim(x→0)(sin35x-sin41x)/sin3x
=lim(x→0)2cos38xsin(-3x)/sin3x,
=lim(x→0)-2cos38x,
=-2cos0=-2。
2
思路二:使用罗必塔法则计算有:
lim(x→0)(sin35x-sin41x)/sin3x,
=lim(x→0)(35cos35x-sin41cos41x)/(3cos3x),
=lim(x→0)(35-41)/3,
=-2。
END7.求lim(1+14x)^(14/11x)。
1
解:本题主要通过使用重要极限公式lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e计算而得,则:
lim(x→0)(1+14x)^(14/11x),
=lim(x→0){[(1+14x)^(1/14x)]}^(14*14/11),
=e^(14*14/11),
=e^(196/11)。
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