本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质,介绍函数用导数工具画函数y=6x^3+3x^2的图像的主要步骤。
主要方法与步骤
1
根据函数特征,函数自变量x可以取全体实数,即定义域为:(-∞,+∞)。
2
一阶导数的应用,判断函数的单调性:计算函数的一阶导数,求出函数驻点,判断函数一阶导数的正负,即可解析函数的单调性,进而得到函数的单调区间。
3
函数的单调性是函数的重要性质,反映了随着自变量的增加函数值的变化趋势,它是研究函数性质的有力工具,在解决比较大小、解决函数图像、值域、最值、不等式问题都有很重要的作用。
4
函数的单调性也叫函数的增减性。当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大(或减小)时,函数值f(x)也随着增大(或减小),则称该函数为在该区间上具有单调性。
5
如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微),若x∈D时恒有f'(x)>0,则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之,若x∈D时,f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。
6
二阶导数可判断函数的凸凹性,主要过程为:计算函数的二阶导数,即可知函数的拐点,再根据二阶导数的符号,判断函数的凸凹性,进而解析函数的凸凹区间。
7
判断函数在无穷远处和无穷近处的极限。
8
根据以上函数的主要特征,函数上部分点图表列举。
9
综合以上函数的定义域、值域、单调性、凸凹性和极限等性质,本例应用导数工具,计算单调和凸凹区间,函数的示意图如下:
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