本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在已知条件下的最大值。

方法/步骤

1

根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据丽柱掩二次函数性质得ab的取值范围。

ab

=a(9/31-1/31*a)

=-1/31*a^2+9/31*a

=-1/31(a-9/2)^2+81/124，

则当a=9/2时，ab有最大值为81/124。



2

设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取虚涛值范围。

a+31b=9,

a+31p/a=9,

a^2-9a+31p=0,对a的二次方程有：

判别式△=81-124p≥0,即：

p≤81/124,

此时得ab=p的最大值=81/124。



3

将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。

由a+31b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，

设a=9(cost)^2，31b=9(sint)^2，则：

a=9(cost)^2,b=9/31(sint)^2,代入得：

ab=9(cost)^2*9/31(sint)^2,

=81/124*(sin2t)^2,

当sin2t=±1时，ab有最大值=81/124。



4

设a=9/2+t,31b=9/2-t，则：

a=(9/2+t),b=(1/31)(9/2-t)

此时有：

ab=1/31*(9/2+t)*(9/2-t)

=1/31*(81/4-t^2)。

当t=0时，即：ab≤81/124,

则ab的最大值为81/124。



5

当a，b均为正数时，则：

∵a+31b≥2√31*ab,

∴(a+31b)^2≥124*ab,

81≥124*ab,

即：ab≤81/124,

则ab的最大值为81/124。



6

思路六：数形几何法

如图，设直线a+31b=9上的任意一点P(a0,b0),

op与x轴的夹角为θ。



7

设函数f(a,b)=ab-λ(a+31b-9),

则偏导数f'a=b-λ,f'b=a-3λ,

f'λ=a+31b-9。

令f'a=f'b=f'λ=0，则：

b=λ,a=3λ。进一步代入得：恩追

3λ+3λ=9,即λ=9/62.

则有a=9/2,b=9/62.

ab的最大值=9/2*9/62=81/124。

END