本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，介绍函数用导数工具画函数y=2x^3+5x^2+2x的图像的主要步骤。

主要过程步骤

1

根据函数y=2x^3+5x^2+2x特征，函数自变量可以取全体实数，即定义域为：(-∞，+∞）。



2

定义域是指该函数的有效范围，函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数y=2x^3+5x^2+2x的全体构成的集合。

3

通过函数y=2x^3+5x^2+2x的一阶导数，求出函数驻点，判断函数y=2x^3+5x^2+2x一阶导数的正负，解析函数的单调性，进而得到函数y=2x^3+5x^2+2x的单调区间。



4

计算函数y=2x^3+5x^2+2x的二阶导数，得到函数的拐点，判断函数的凸凹性性，并得到函数y=2x^3+5x^2+2x的凸凹区间。



5

如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图像上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图像都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

6

判断函数y=2x^3+5x^2+2x在端点处的极限。



7

函数y=2x^3+5x^2+2x五点图：函数上部分点解析如下表所示，横坐标和纵坐标。



8

综合以上函数y=2x^3+5x^2+2x的定义域、值域、单调性、凸凹性和极限等性质，函数y=2x^3+5x^2+2x的示意图如下：



9

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

END