当2a+39b=9时介绍多种方法计算ab最大值步骤

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab已知条件下的最大值。

思路一:直接代入法

    1

    主要内容:

    本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在2a+39b=9条件下的最大值。

    主要公式:

    1.(sina)^2+(cosa)^2=1。

    2.ab≤(a+b)^2/2。

    当2a+39b=9时介绍多种方法计算ab最大值步骤

    2

    根据已知条件,替换b,得到关于a的函数,并根据二次函数性质得ab的取值范围。

    ab

    =a(3/13-2/39*a)

    =-2/39*a^2+3/13*a

    =-2/39(a-9/4)^2+27/104,

    则当a=9/4时,ab有最大值为27/104。

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思路二:判别式法

    1

    设ab=p,得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数,并根据二次函数性质得ab的取值范围。

    2a+39b=9,

    2a+39p/a=9,

    2a^2-9a+39p=0,对a的二次方程有:

    判别式△=81-312p≥0,即:

    p≤27/104,

    此时得ab=p的最大值=27/104。

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思路三:三角换元法

    1

    将ab表示成三角函数,进而得ab的最大值。

    由2a+39b=9,要求ab的最大值,不妨设a,b均为正数,

    设2a=9(cost)^2,39b=9(sint)^2,则:

    a=(cost)^2,b=3/13(sint)^2,代入得:

    ab=(cost)^2*3/13(sint)^2,

    =27/104*(sin2t)^2,

    当sin2t=±1时,ab有最大值=27/104。

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思路四:中值代换法

    1

    设2a=9/2+t,39b=9/2-t,则:

    a=(1/2)(9/2+t),b=(1/39)(9/2-t)

    此时有:

    ab=1/78*(9/2+t)*(9/2-t)

    =1/78*(81/4-t^2)。

    当t=0时,即:ab≤27/104,

    则ab的最大值为27/104。

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思路五:不等式法

    1

    当a,b均为正数时,则:

    ∵2a+39b≥2√78*ab,

    ∴(2a+39b)^2≥312*ab,

    81≥312*ab,

    即:ab≤27/104,

    则ab的最大值为27/104。

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思路六:数形几何法

    1

    如图,设直线2a+39b=9上的任意一点P(a0,b0),

    op与x轴的夹角为θ,则:

    2a0+39b0=9,b0=a0tanθ,

    2a0+39a0tanθ=9,得

    a0=9/(2+39tanθ),

    |a0*b0|=81*|tanθ|/(2+39tanθ)^2,

    =81/[(4/|tanθ|)+156+1521|tanθ|]

    ≤81/(156+156)=27/104。

    则ab的最大值=27/104.

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思路七:构造函数法

    1

    设函数f(a,b)=ab-λ(2a+39b-9),

    则偏导数f'a=b-2λ,f'b=a-39λ,

    f'λ=2a+39b-9。

    令f'a=f'b=f'λ=0,则:

    b=2λ,a=39λ。进一步代入得:

    78λ+78λ=9,即λ=3/52.

    则有a=9/4,b=3/26.

    ab的最大值=9/4*3/26=27/104。

    当2a+39b=9时介绍多种方法计算ab最大值步骤END

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