本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab已知条件下的最大值。
思路一:直接代入法
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主要内容:
本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在2a+39b=9条件下的最大值。
主要公式:
1.(sina)^2+(cosa)^2=1。
2.ab≤(a+b)^2/2。
2
根据已知条件,替换b,得到关于a的函数,并根据二次函数性质得ab的取值范围。
ab
=a(3/13-2/39*a)
=-2/39*a^2+3/13*a
=-2/39(a-9/4)^2+27/104,
则当a=9/4时,ab有最大值为27/104。
END思路二:判别式法
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设ab=p,得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数,并根据二次函数性质得ab的取值范围。
2a+39b=9,
2a+39p/a=9,
2a^2-9a+39p=0,对a的二次方程有:
判别式△=81-312p≥0,即:
p≤27/104,
此时得ab=p的最大值=27/104。
END思路三:三角换元法
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将ab表示成三角函数,进而得ab的最大值。
由2a+39b=9,要求ab的最大值,不妨设a,b均为正数,
设2a=9(cost)^2,39b=9(sint)^2,则:
a=(cost)^2,b=3/13(sint)^2,代入得:
ab=(cost)^2*3/13(sint)^2,
=27/104*(sin2t)^2,
当sin2t=±1时,ab有最大值=27/104。
END思路四:中值代换法
1
设2a=9/2+t,39b=9/2-t,则:
a=(1/2)(9/2+t),b=(1/39)(9/2-t)
此时有:
ab=1/78*(9/2+t)*(9/2-t)
=1/78*(81/4-t^2)。
当t=0时,即:ab≤27/104,
则ab的最大值为27/104。
END思路五:不等式法
1
当a,b均为正数时,则:
∵2a+39b≥2√78*ab,
∴(2a+39b)^2≥312*ab,
81≥312*ab,
即:ab≤27/104,
则ab的最大值为27/104。
END思路六:数形几何法
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如图,设直线2a+39b=9上的任意一点P(a0,b0),
op与x轴的夹角为θ,则:
2a0+39b0=9,b0=a0tanθ,
2a0+39a0tanθ=9,得
a0=9/(2+39tanθ),
|a0*b0|=81*|tanθ|/(2+39tanθ)^2,
=81/[(4/|tanθ|)+156+1521|tanθ|]
≤81/(156+156)=27/104。
则ab的最大值=27/104.
END思路七:构造函数法
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设函数f(a,b)=ab-λ(2a+39b-9),
则偏导数f'a=b-2λ,f'b=a-39λ,
f'λ=2a+39b-9。
令f'a=f'b=f'λ=0,则:
b=2λ,a=39λ。进一步代入得:
78λ+78λ=9,即λ=3/52.
则有a=9/4,b=3/26.
ab的最大值=9/4*3/26=27/104。
END
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