本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，介绍函数用导数工具画函数y=(2x³-4)/(x+1)³的图像的主要步骤。

函数的定义域

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函数是分式函数，根据函数特征，分母应不为0，即可得到不等式x+1≠0，则可计算出函数的定义域。



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在高中数学里，定义域的定义为：设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域。

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函数的单调性

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利用函数的导数知识，计算函数的一阶导数，根据导数的符号，解析函数y的单调性。

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函数的单调性也叫函数的增减性。当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大(或减小)时，函数值f(x)也随着增大(或减小)，则称该函数为在该区间上具有单调性。

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函数的凸凹性

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计算函数的二阶导数，即可求出函数的拐点，进而解析函数单调性，则可求出函数的凸凹区间。



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拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）。若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。

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函数的极值

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计算函数在无穷远处和函数的点断点处的极限：

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函数的示意图

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根据函数单调性、凸凹性等性质，列举函数在定义域区间上部分关键点坐标。



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函数上部分点坐标的解析，是通过二维坐标系画函数图像的关键步骤。

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综合以上函数的定义域、单调性、凸凹性、极限性质，并结合函数的定义区间和单调、凸凹区间，即可画出函数的示意图如下：

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