本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，介绍函数用导数工具画函数y=(x³-2)/(x+1)³的图像的主要步骤。

函数的定义域

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函数y=(x³-2)/(x+1)³是分式函数，根据函数特征，分母应不为0。

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定义域是指该函数的有效范围，函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。

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函数的单调性

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通过函数y=(x³-2)/(x+1)³的一阶导数，判断函数的单调性。

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函数的单调性也叫函数的增减性。当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大(或减小)时，函数值f(x)也随着增大(或减小)，则称该函数为在该区间上具有单调性。

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函数的凸凹性

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再次计算一阶导数的导数，即通过函数的二阶导数，计算出函数y=(x³-2)/(x+1)³的拐点，进而求出函数的凸凹区间。



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二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f(x)的导数y'=f'(x)仍然是x的函数，则y'=f'(x)的导数叫作函数y=f(x)的二阶导数。



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如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图像上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图像都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

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函数的极值

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判断函数y=(x³-2)/(x+1)³在端点处的极限：



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极限指某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”，极限是一种“变化状态”的描述。

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函数的示意图

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根据函数单调性、凸凹性，并结合函数的定义域，列举函数上部分特征点坐标。



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综合以上性质，函数y=(x³-2)/(x+1)³的示意图如下：

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