本经验通过线性穿插、极限法、微分及泰勒展开等四种方法，介绍二次根式3665的近似值计算方法步骤。

※.线性穿插法计算近似值

1

设√3665=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：

√3600=60,

√3665=x,

√3721=61,用线性穿插得：

(3665-3600)/(3721-3665)=(x-60)/(61-x)

65(61-x)=56(x-60)

121x=7325

x=7325/121≈60.5372.

END

※.微分法计算近似值

1

∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，∴dy=dx/(2√x），对于本题有：

√3665-√3600=(3665-3600)/(2√3600)

√3665=√3600+65/(2*60)

√3665=60+13/24≈60.5417.

END

※.极限法计算近似值

1

原理为当x趋近无穷小时，有(1±x) ᵃ≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

√3665=√(3600+65）

√3665=√[3600(1+65/3600）]

=60√(1+65/3600）

=60*[1+65/(2*3600)]

=60+13/24≈60.5417.

END

※.泰勒展开式计算近似值

1

∵f(x)=f(x₀)/0!+f'(x₀)(x-x₀)/1!+f"(x₀)(x-x₀)²/2!+O(x³)

∴f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)+f"(x₀)(x-x₀)²/2+O(x³)

其中O(x³)表示x的三次无穷小。

对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：

f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f"(x)=-(1/4)x^(-3/2)，即：

f(x)≈f(x₀)+(1/2)x₀^(-1/2)(x-x₀)-(1/8)x₀^(-3/2)*(x-x₀)²。



2

对于本题，x=3665，x₀=3600,x-x₀=65,代入得：

√3665

≈√3600+(65/2)*3600^(-1/2)-(1/8)*65²*3600^(-3/2)

≈60+(65/2)*60⁻¹-(1/8)*65²*60⁻³

≈60+13/24-65²/(8*60³)

即：√3665≈60.5392。

END

结论拓展分析：

1

1.本次近似计算以保留四位小数为主，从精确度来看，精确度最高的是泰勒展开式法，其次是线性穿插法。

2.所求的某个数a的算术平方根，由于与a相邻有两个可开方数，一般在近似计算中选取与之最近的一个可开方数。

END