本文介绍函数y=(x-27)(x-12)(x-5)的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，并用导数知识求解函数的单调区间和凸凹区间，简要画出函数图像的示意图。

方法/步骤

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函数是一次函数的乘积，即函数自变量x可取全体实数，则函数的定义域为：(-∞，+∞）。



2

定义域是指该函数的有效范围，函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。

3

函数的单调性是函数的重要性质，反映了随着自变量的增加函数值的变化趋势，它是研究函数性质的有力工具，在解决比较大小、解决函数图像、值域、最值、不等式问题都有很重要的作用。



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如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

5

当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大(或减小)时，函数值也随着增大(或减小)，则称该函数为在该区间上具有单调性(单调增加或单调减少)。



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如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0。



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对于一元函数来说，我们可以通过求函数的二阶导数来判断函数的凸凹性。如果函数的二阶导数大于0，那么函数在该区间内是凹函数；如果函数的二阶导数小于0，那么函数在该区间内是凸函数。

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简要计算本题三次函数乘积在正无穷、负无穷远处，以及零点处的极限值。



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函数五点图，即根据函数的单调性、凸凹性关键点，函数部分点解析表如下：



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综合以上函数的单调性、凸凹性、极限等相关性质，结合函数的定义域，即可简要画出函数的示意图。

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