在小学阶段，我们接触过无限循环小数，比如0.333...，0.999...，0.135135135...，3.75121212...，等等。也知道无限循环小数是可以化成分数的。可是，无限循环小数怎么化成分数呢？下面将逐步用实例推导出无限循环小数化成分数的公式。

工具/原料

无限循环小数

无穷等比级数

极限

一、将无限循环小数转化为无穷等比级数

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无穷级数指的就是一个无穷多项的序列的求和式子。我们用实例说明。

①0.333...=0+0.3+0.03+0.003+...；

②0.333...=0+3/10+3/100+3/1000+...+3/(10^n)+...；

③0.999...=0+0.9+0.09+0.009+...；

④0.999...=0+9/10+9/100+9/1000+...+9/(10^n)+...；

⑤0.135135135...=0+0.135+0.000135+...；

⑥0.135135135...=0+135/1000+135/1000000+...+135/(1000^n)+...；

⑦3.75121212...=3+0.75+0.0012+0.000012+...；

⑧3.75121212...=3+75/100+12/10000+12/1000000+...+12/(100^n)+...。

如上所示，①=②；③=④；⑤=⑥；⑦=⑧。“等式”左端都是无限循环小数，是一个可以无限延伸的小数，“等式”右端都是该无限循环小数的展开式构成的无穷级数。而“等式”中不带省略记号“+...”的那部分，称为无穷级数的n项之和，它是一个有限和。

从形式上来看，“等式”右端是“+”号连接而成，但是并不表示把无限多的项一项一项这样实打实加起来，因为这是无法做到的，所以它只是一个事实的简写形式。这个事实是，当n很大，趋近于正无穷大的时候，“+...”这一部分无穷小。也就是说，当n很大，趋近于正无穷大的时候，此处无穷级数的n项之和就趋近于“等式”左端。

细心的朋友会发现，“等式”右端是一个以q（0＜q<1）为公比的等比数列之和，这个和的式子又称为无穷等比级数。则“等式”右端可写成如下形式。

q+q²+q³+q^4+...+q^n+...，（0＜q<1）。

END

二、推导公比为q（0＜q＜1）的无穷等比级数求和公式

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q+q²+q³+q^4+...+q^n+...，（0＜q<1）。

如前所述，这是一个公比在0和1之间的无穷等比级数。这里需要用到等比数列的求和公式Sn=[b1(1-k^n)]/(1-k)，这个公式是这样来的。

首先，证明等比数列前n项和为Sn=[b1(1-k^n)]/(1-k)，其中公比k≠1。

证明：设任意一个等比数列的首项为b1，公比为k≠1，再设等比数列前n项和为Sn，

当k≠1时，Sn=b1+b1k+b1k²+b1k³+b1k^4+...+b1k^(n-2)+b1k^(n-1)；

将“等式”两端同时乘公比k，

kSn=b1k+b1k²+b1k³+b1k^4+...+b1k^(n-1)+b1k^n；

用上式减下式，得：Sn-kSn=b1-b1k^n;

(1-k)Sn=b1(1-k^n)；

将“等式”两端同时除以（1-k）,

则等比数列的求和公式为Sn=[b1(1-k^n)]/(1-k)。即得证。



2

然后，推导出无穷等比级数的求和公式。

当n趋近于正无穷大时，因为0＜k＜1，所以k^n趋近于无穷小，分子括号中的(1-k^n)趋近于1，利用极限，有Sn=b1/(1-k)[当n趋近于无穷大时]，

在q+q²+q³+q^4+...+q^n+...中，公比q满足0＜q<1，利用极限，有

⑨q+q²+q³+q^4+...+q^n+...=q/(1-q)。



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最后，举例验证推导出的公式⑨。

利用⑨q+q²+q³+q^4+...+q^n+...=q/(1-q)，我们很容易就能得出，

0.333...=3/10+3/100+3/1000+...+3/(10^n)+...

=3×(1/10)/[1-(1/10)]=(3/10)/(9/10）=3/10×10/9=1/3。

故0.333...=1/3。

同理，0.999...=+9/10+9/100+9/1000+...+9/(10^n)+...

=9×(1/10)/[1-(1/10)]=(9/10)/(9/10）=1

故0.999...=1，此处已经证明了0.999...=1。

0.135135...=135/1000+135/1000000+...+135/(1000^n)+...

=(135/1000)/[1-(1/1000)]=(135/1000)/(999/1000)=135/999=5/37

3.75121212...=3+75/100+12/10000+12/1000000+...+12/(100^n)+...

=3+75/100+[12/10000+12/1000000+...+12/(100^n)+...]

=3+75/100+(12/10000)/[1-(1/100)]

=3+75/100+(12/10000)/(99/100)

=3+75/100+(12/100)/99

=3+3/4+1/825

=3+(2479/3300)

公式正确无误。将得出的分数采用计算器逆运算，等于上述无限循环小数。

END

三、推导无限循环小数化成分数的表示公式

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综上所述，所有无限循环小数都可以表示成整数或分数。令m是循环节前的小数位数，n是循环节部分的小数位数，由⑨可得，无限循环小数的表示公式为

a0.a1a2a3...amb1b2b3...bn

=a0.a1a2a3...am+[0.b1b2b3...bn/(10^m)]/[1-(1/10)^n]



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我们举例验证公式。

公式：

a0.a1a2a3...amb1b2b3...bn

=a0.a1a2a3...am+[0.b1b2b3...bn/(10^m)]/[1-(1/10)^n]

示例：

0.999...=0+0.9/[1-(1/10)]=0.9/(1-0.1)=1;

0.2131313...=0.2+(0.13/10)/[1-(1/100)]=2/10+13/990=211/990。

公式正确无误。将得出的分数采用计算器逆运算，等于上述无限循环小数。

END

注意事项

0.999...=1；0.333...=1/3。

当公比q大于0小于1时，取极限，q+q²+q³+q^4+...+q^n+...=q/(1-q)。

a0.a1a2a3...amb1b2b3...bn=a0.a1a2a3...am+[0.b1b2b3...bn/(10^m)]/[1-(1/10)^n]

无限循环小数是有理数，因为任何无限循环小数都可以化成整数或分数形式。

无限不循环小数是无理数，无理数不能化成整数或分数。