计算ab在条件a+40b=9时最大值的主要过程和步骤

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在已知条件下的最大值。

方法/步骤

    1

    介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在a+40b=9条件下的最大值。

    计算ab在条件a+40b=9时最大值的主要过程和步骤

    2

    根据已知条件,替换b,得到关于a的函数,并根据二次函数性质得ab的取值范围。

    ab

    =a(9/40-1/40*a)

    =-1/40*a^2+9/40*a

    =-1/40(a-9/2)^2+81/160,

    则当a=9/2时,ab有最大值为81/160。

    计算ab在条件a+40b=9时最大值的主要过程和步骤

    3

    设ab=p,得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数,并根据二次函数性质得ab的取值范围。

    a+40b=9,

    a+40p/a=9,

    a^2-9a+40p=0,对a的二次方程有:

    判别式△=81-160p≥0,即:

    p≤81/160,

    此时得ab=p的最大值=81/160。

    计算ab在条件a+40b=9时最大值的主要过程和步骤

    4

    将ab表示成三角函数,进而得ab的最大值。

    由a+40b=9,要求ab的最大值,不妨设a,b均为正数,

    设a=9(cost)^2,40b=9(sint)^2,则:

    a=9(cost)^2,b=9/40(sint)^2,代入得:

    ab=9(cost)^2*9/40(sint)^2,

    =81/160*(sin2t)^2,

    当sin2t=±1时,ab有最大值=81/160。

    计算ab在条件a+40b=9时最大值的主要过程和步骤

    5

    设a=9/2+t,40b=9/2-t,则:

    a=(9/2+t),b=(1/40)(9/2-t)

    此时有:

    ab=1/40*(9/2+t)*(9/2-t)

    =1/40*(81/4-t^2)。

    当t=0时,即:ab≤81/160,

    则ab的最大值为81/160。

    计算ab在条件a+40b=9时最大值的主要过程和步骤

    6

    当a,b均为正数时,则:

    ∵a+40b≥2√40*ab,

    ∴(a+40b)^2≥160*ab,

    81≥160*ab,

    即:ab≤81/160,

    则ab的最大值为81/160。

    计算ab在条件a+40b=9时最大值的主要过程和步骤

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    如图,设直线a+40b=9上的任意一点P(a0,b0),

    op与x轴的夹角为θ,则:

    a0+40b0=9,b0=a0tanθ,

    a0+40a0tanθ=9,得

    a0=9/(1+40tanθ),

    |a0*b0|=81*|tanθ|/(1+40tanθ)^2,

    =81/[(1/|tanθ|)+80+1600|tanθ|]

    ≤81/(80+80)=81/160。

    则ab的最大值=81/160.

    计算ab在条件a+40b=9时最大值的主要过程和步骤

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    设函数f(a,b)=ab-λ(a+40b-9),

    则偏导数f'a=b-λ,f'b=a-40λ,

    f'λ=a+40b-9。

    令f'a=f'b=f'λ=0,则:

    b=λ,a=40λ。进一步代入得:

    40λ+40λ=9,即λ=9/80.

    则有a=9/2,b=9/80.

    ab的最大值=9/2*9/80=81/160。

    计算ab在条件a+40b=9时最大值的主要过程和步骤END

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