三角函数公式

三角函数是一个重要的知识点,尤其在生活应用中具有举足轻重的作用!三角函数包括sin cos,tan,cot,以及arctan,arccos,等等。他们之间是如何换算的?他们之间又有什么特殊的关系式子?

三角函数公式

定义表达式

    1

    直角三角函数的定义

    正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c ;

    余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c ;

    正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b ;

    余切(cot)等于邻边比对边;cotA=b/a;

    一般在解三角形中经常使用这些等式!

    三角函数公式

    2

    倒数关系

    tanα ·cotα=1;

    sinα ·cscα=1;

    cosα ·secα=1 ;

    这些等式可以直接由定义式子直接算出来,这里的角度α是任意的。

    三角函数公式

    3

    商的关系

    sinα/cosα=tanα=secα/cscα ;cosα/sinα=cotα=cscα/secα ;

    三角函数公式

    4

    平方关系:sin^2(α)+cos^2(α)=1 ;

    1+tan^2(α)=sec^2(α) ;

    1+cot^2(α)=csc^2(α) ;

    三角函数公式

    5

    二倍角公式

    正弦  sin2α=2sinα·cosα ; 

    余弦  1.Cos2α=Cos^2(α)-Sin^2(α) ;

      2.Cos2α=1-2Sin^2(α) ;

      3.Cos2α=2Cos^2(α)-1 ;

    即Cos2α=Cos^2(α)-Sin^2(α)=2Cos^2(α)-1=1-2Sin^2(α);正切tan2α=(2tanα)/(1-tan^2(α));

    三角函数公式END

不常用的关系式

    1

    万能公式:sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] ;

    cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] ;

    tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)];

    建立了sinα,cosα,tanα与tanα/2 之间的关系。

    三角函数公式

    2

    半角公式

      tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα);

      cot(α/2)=sinα/(1-cosα)=(1+cosα)/sinα;

      sin^2(α/2)=(1-cos(α))/2;

      cos^2(α/2)=(1+cos(α))/2;

      tan(α/2)=(1-cos(α))/sin(α)=sin(α)/(1+cos(α)) ;

    建立了半角与正个角之间的转化关系。

    三角函数公式

    3

    和差化积  sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2];

      sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2];

      cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2];

      cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2];

      tanθ+tanφ=sin(θ+φ)/cosθcosφ=tan(θ+φ)(1-tanθtanφ);

      tanθ-tanφ=sin(θ-φ)/cosθcosφ=tan(θ-φ)(1+tanθtanφ)

    将三角函数的额和,化成乘积的形式。

    三角函数公式

    4

    两角和公式  tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ);

      tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ);

      cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;

      cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;

      sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;

      sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ

    将一个角度拆成两个角之和或者差的形式

    三角函数公式

    5

    积化和差  sinαsinβ =-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2;

      cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2;

      sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2;

      cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2;

    三角函数公式

    6

    三倍角公式  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α);

      cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α);

      tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a);

    不常用,了解一下。

    7

    四倍角公式

    sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)

    不常用,了解一下。

    8

    五倍角公式

    sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)

    不常用,了解一下。

    END

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